Respuesta:
[tex]\frac{(x+1)^2}{11}+ \frac{(y+3)}{36}=1[/tex]
Explicación paso a paso:
Hola! por las coordenadas de los focos y vértices, se puede deducir que la elipse es vertical (ya que estos 4 puntos deben estar alineados, tienen la misma coordenada en x, o sea que hay una línea vertical en x=-1 por donde está estos 4 puntos).
Las elipses verticales tienen la siguiente ecuación:
[tex]\frac{(x-h)^2}{b^2}+ \frac{(y-k)^2}{a^2} =1; a>b[/tex]
Donde (h,k) son las coordenadas del centro; a es la distancia del semieje mayor; y b la distancia del semieje menor.
Las posiciones de los focos y vértices, entre si son simétricas ya que el centro se encuentra a la mitad de ellos. Para conocer las coordenadas del mismo, podemos sumar las coordenadas en y ya sean de los focos o de los vértices y dividirlo entre 2. Esa será su coordenada en y del centro. La de x es -1 (por lo mismo que están alineados):
[tex]Centro:C(-1,\frac{3+(-9)}{2} )--->C(-1,-3)[/tex]
La distancia del Centro a cualquiera de los vértices, es a:
[tex]a=3-(-3)=6[/tex]
La distancia del Cetro a cualquiera de los focos, es c:
[tex]c=2-(-3)=5[/tex]
Y para conocer b, aplicamos la relación:
[tex]a^2=b^2+c^2\\\\b=\sqrt{6^2-5^2} \\\\b=\sqrt{11}[/tex]
Sustituyendo a=6, b=√11, C(-1,-3) en la ecuación del la elipse:
[tex]\frac{(x-(-1))^2}{\sqrt{11}^2 }+ \frac{(y-(-3))^2}{6^2} =1\\\\\frac{(x+1)^2}{11}+ \frac{(y+3)}{36}=1[/tex]
¡Espero haberte ayudado, Saludos y éxito!
La ecuación reducida o ecuación ordinaria de la elipse viene dada por:
[tex]\displaystyle{{\bf \frac{(x+1)^2}{11}+\frac{(y+3)^2}{6}}=1}}[/tex]
A partir de los datos aportados, se tiene una elipse con centro en el punto P y eje focal paralelo al eje de las ordenadas (ver figura adjunta).
La ecuación reducida de la elipse está dada de la forma:
[tex]\displaystyle{{\bf \frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1}}[/tex]
Donde:
h = abscisa del punto central (P), de la elipse = -1
k = ordenada del punto central (P), de la elipse = -3
b = semieje menor = ?
a = semieje mayor = 6
En esta elipse, los semiejes están relacionados mediante la ecuación:
b² = a² - c²
Donde c = distancia del centro al foco = 5
Despejando b y sustituyendo datos en la ecuación anterior, se tiene:
b = √(a² - c²) = √(6² - 5²) = √(36 - 25) = √11
Sustituyendo datos en la ecuación de la elipse, se tiene:
[tex]\displaystyle{{\bf \frac{(x-(-1))^2}{(\sqrt{11})^2}+\frac{(y-(-3))^2}{(\sqrt{6})^2}=1}} \rightarrow \displaystyle{{\bf \frac{(x+1)^2}{11}+\frac{(y+3)^2}{6}}=1}}[/tex]
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