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Los vectores g = (7, −2), m = (2, −4) y n= (1,2):
a) Halla un vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector g.

b) Calcule el ángulo que forman los vectores g y m.

c) Calcule el resultado de la siguiente operación: m ∙ (2g + 3n)

d) Demuestra que g puede expresarse como combinación lineal de m y n.

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Sagot :

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Al realizar las operaciones con vectores se obtiene:

a) El vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector g es:

   (7i/√53 - 2j/√53)

b) El ángulo que forman los vectores q y m es:

    47.5°

c) El resultado de la operación m ∙ (2g + 3n) = es: 42

d) Se demuestra que g es combinación lineal de m y n.

Resolviendo

a) Halla un vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector g.

El vector unitario se obtiene:

u = a/|a| = (a i + a j)/|a|

El módulo de un vector es: |a| = √(x² + y²)

Sustituir;

a = g = (7, -2)

|g| = √[7² + (-2)²]

|g| = √53

Ug = (7i/√53 - 2j/√53)

b) Calcule el ángulo que forman los vectores g y m.

Aplicar formula para hallar el ángulo entre dos vectores;

Cos(α) = [(g · m)/(|g| · |m|)]

Despejar α;

α = Cos⁻¹[(g · m)/(|g| · |m|)]

|m| = √[2² + (-4)²]

|m| = 2√5

sustituir;

α = Cos⁻¹[(7)(2)+(-2)(-4)/(√53 · 2√5)]

α = 47.5°

c) Calcule el resultado de la siguiente operación:

m ∙ (2g + 3n)

Sustituir;

m ∙ (2g + 3n) = (2, -4) ∙ [2(7, -2) + 3(1, 2)]

m ∙ (2g + 3n) = (2, 4) ∙ [(14, -4) + (3, 6)]

m ∙ (2g + 3n) = (2, 4) ∙ (17, 2)

m ∙ (2g + 3n) = 34+8

m ∙ (2g + 3n) = 42

d) Demuestra que g puede expresarse como combinación lineal de m y n.

Si g es combinación lineal de m y n si se puede expresar:

g = a · m + b · n     a, b ∈ R

sustituir;

(7, -2) = a · (2, -4) + b · (1, 2)  

Igualar términos semejantes;

7 = 2a + b        ⇒ b = 7 - 2a

-2 = - 4a + 2b   ⇒ - 2 = -4a + 2(7 -2a)

⇒ -2 = -4a + 14 - 4a

⇒ 8a = 16

⇒ a = 16/8

⇒ a = 2

⇒ b = 7 - 2(2)

⇒ b = 3

Por tanto, g es combinación lineal de m y n.

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