La longitud mínima de la cuerda entre A y B debe ser de 40√13 metros
Siendo correcta la opción C
Se trata de un problema de razones trigonométricas
Donde los triángulos dados por enunciado resultan ser triángulos notables.
Luego este problema contendrá a tres triángulos
Donde se tienen dos triángulos rectángulos
Los triángulos rectángulos ACP y BPE, en donde en el punto P se ubica el trapecista, teniendo para ACP el lado AP (b) que es la longitud desde el trapecista hasta la cima del hotel Hilton (A) con un ángulo de elevación de 45° y para el BPE el lado BP (a) que es la distancia desde el trapecista hasta la cima del hotel El Pacífico (B) con un ángulo de elevación de 75°. Donde para cada triángulo se conoce el valor del cateto adyacente (distancia del trapecista a cada uno de los hoteles)
Donde se desea hallar la longitud mínima de cuerda que el trapecista necesita para sujetarla desde los puntos A y B en los extremos respectivos de las cimas de los 2 hoteles
Luego si trazamos una línea recta entre los puntos A y B vemos que se tiene un tercer triángulo no rectángulo, donde las hipotenusas de cada triángulo rectángulo forman dos de sus lados
Por tanto hallaremos las dimensiones de ambas hipotenusas para cada triángulo rectángulo, luego podremos encontrar la longitud de la cuerda mediante el teorema del coseno
Esto se puede observar en al gráfico adjunto
Determinamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos
Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, como conocemos para los triángulos rectángulos los valores respectivos de los catetos adyacentes, relacionamos los datos con los cosenos de los ángulos dados
Hallamos la hipotenusa en el triángulo rectángulo ACP
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\boxed{\bold { cos(45^o) = \frac{\sqrt{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { cos(45^o)= \frac{ cateto\ adyacente }{hipotenusa }} }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { cos(45^o) = \frac{ CP }{ AP \ (b) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { AP \ (b) = \frac{ CP }{ cos(45^o)} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { AP \ (b) = \frac{ 20\sqrt{2} \ m }{ cos(45^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { AP \ (b)= \frac{ 20\sqrt{2} \ m }{ \frac{\sqrt{2} }{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { AP \ (b) = 20\not \sqrt{2} \ m \ .\ \frac{2}{\not \sqrt{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { AP \ (b) = 20 \ . \ 2 \ m} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { AP \ (b) =40 \ m } }[/tex]
Hallamos la hipotenusa en el triángulo rectángulo BPE
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\boxed{\bold { cos(75^o) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { cos(75^o)= \frac{ cateto\ adyacente }{hipotenusa }} }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { cos(75^o) = \frac{ PE }{ BP \ (a) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { BP \ (a) = \frac{ PE }{ cos(75^o)} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { BP \ (a)= \frac{ 40(\sqrt{6} -\sqrt{2} ) \ m }{ cos(75^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { BP \ (a)= \frac{ 40(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \ m }{ \frac{\sqrt{6} \ - \sqrt{2} }{4} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {BP \ (a) = 40 ( \sqrt{6}- \sqrt{2}) \ m \ .\ \frac{4}{\sqrt{6} -\sqrt{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {BP \ (a) = 40 \ . \ 4 \ m} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { BP \ (a) =160 \ m } }[/tex]
Hallamos la longitud de la cuerda AB
Determinamos el valor del ángulo interno en P para el triángulo oblicuángulo ABP
Como se tiene un ángulo llano
[tex]\boxed{\bold { \gamma =180 ^o - 45^o- 75^o } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { \gamma =60 ^o } }[/tex]
La longitud de la cuerda está dada por el lado faltante del triángulo oblicuángulo: el lado AB (c)
Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la dimensión de tercer lado
Hallamos el lado faltante del triángulo ABP (la longitud de la cuerda)
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =( 160 \ m)^{2} + (40 \ m)^{2} - 2 \ . \ 160 \ m \ . \ 40 \ m \ . \ cos(60)^o }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 25600 \ m^{2} + 1600 \ m^{2} - 12800 \ m^{2} \ . \ cos(60)^o }}[/tex]
[tex]\large\textsf{El valor exacto del cos de 60 grados es }\bold{ \frac{1}{2}= 0.5 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =27200 \ m^{2} - 12800 \ m^{2} \ . \ 0.5 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 27200\ m^{2} -6400 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c^{2} =20800 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{20800 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 20800 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c = \sqrt{1600 \ . \ 13} \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c = \sqrt{40^{2} \ . \ 13} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c = 40\sqrt{13} \ m}}[/tex]
La longitud de la cuerda es de 40√13 metros
Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y ángulos planteadas
