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un jugador patea una pelota con una velocidad inicial de 22 m sobre segundo y con un ángulo de 40 grados respecto al eje horizontal.
calcular el tiempo total del vuelo.​


Sagot :

arkyta

El tiempo total de vuelo de la pelota es de 2.89 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la pelota

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]

Donde

[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]

[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]

[tex]\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (22 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (40^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{44\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{44\ \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ } \ segundos }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{28.282654826228 }{9.8 \ } \ segundos }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =2.88598515\ segundos }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =2.89 \ segundos }}[/tex]

El tiempo de vuelo del proyectil es de 2.89 segundos

Aunque el enunciado no lo pida:  

Hallamos la altura máxima que alcanza la pelota

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]

Donde

[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]

[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(22 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (40^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{484\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.642787609687)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{484 \ . \ 0.4131759111671271 }{ 19.6\ } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 199.9771410048895164 }{ 19.6 } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} = 10.2029153\ metros }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =10.2\ metros }}[/tex]

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 10.2 metros

Determinamos el alcance de la pelota

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]

Donde

[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]

[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 22 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 40^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (80^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{476.646952457808 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =48.6374441\ metros }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} = 48.64 \ metros }}[/tex]

El alcance máximo del proyectil es de 48.64 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

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