Respuesta:
[tex]k=\dfrac{10^9}{9^{10}}\approx0.286[/tex]
Explicación paso a paso:
[tex](10k)^{9k}=(9k)^{10k}\\\\9k\ln(10k)=10k\ln(9k)\\[/tex]
cancelo las [tex]k[/tex] porque [tex]k\neq 0[/tex] ([tex]0^0[/tex] indeterminado)
[tex]9\ln(10k)=10\ln(9k)\\\\9\ln(10) + 9\ln(k)=10\ln(9)+10\ln(k)\\\\9\ln(10)-10\ln(9)=10\ln(k)-9\ln(k)\\\\\ln\left(\dfrac{10^9}{9^{10}} \right)=\ln(k)\\\\k=\dfrac{10^9}{9^{10}}\approx0.286[/tex]
Comprobar resultado.
[tex]\left(10\cdot\dfrac{10^9}{9^{10}}\right )^{9\cdot\dfrac{10^9}{9^{10}} }=\left(9\cdot\dfrac{10^9}{9^{10}}\right )^{10\cdot\dfrac{10^9}{9^{10}} }\\\\\\\left(\dfrac{10^{10}}{9^{10}} }\right)^{\dfrac{10^9}{9^9} }=\left(\dfrac{10^9}{9^{9}} }\right)^{\dfrac{10^{10}}{9^{10}} }\\\\\\\left(\dfrac{10}{9} \right)^{10\cdot\dfrac{10^9}{9^9} }=\left(\dfrac{10}{9} \right)^{9\cdot\dfrac{10^{10}}{9^{10}} }\\[/tex]
[tex]\left(\dfrac{10}{9} \right)^{\dfrac{10^{10}}{9^9} }=\left(\dfrac{10}{9} \right)^{\dfrac{10^{10}}{9^{9}} }[/tex]
