La distancia desde lo alto de la montaña hasta los pies del geólogo es de aproximadamente 146.4 metros
El valor del ángulo de elevación es de aproximadamente 49.54°
La altura de la montaña forma con el suelo un ángulo recto, es decir de 90°, por lo que se tiene un triángulo rectángulo
Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la montaña -la cual sería un cateto-, el lado AC (b) que representa la distancia desde los pies del geólogo hasta el pie o base de la montaña -la cual sería el otro cateto-. Siendo la distancia desde la punta más alta de la montaña hasta los pies del geólogo la hipotenusa del triángulo rectángulo, la cual es una de las incógnitas.
Donde el geólogo observa desde su ubicación la cima de la montaña con un ángulo de elevación α del cual desconocemos su valor, siendo la otra incógnita del problema
Se pide hallar
a) La distancia desde la cima de la montaña hasta los pies del geólogo
b) El ángulo de elevación con el cual se observa la cima de la montaña
a) Hallamos la distancia desde la cima de la montaña hasta los pies del geólogo
Luego
Determinamos esta distancia empleando el Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"
[tex]\large\boxed {\bold {hipotenusa^{2}= cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}[/tex]
Donde empleamos la notación habitual en los triángulos rectángulos donde "a" y "b" son los catetos y "c" la hipotenusa
Llamamos "a" a la altura de la montaña
[tex]\large\textsf{Altura Monta\~na = 111.4 m }[/tex]
Llamamos "b" a la distancia desde los pies del geólogo hasta el pie de la montaña
[tex]\large\textsf{Distancia Ge\'ologo Hasta Pie Monta\~na = b = 95 m }[/tex]
Y a la distancia desde la cima de la montaña hasta los pies del geólogo "c"
[tex]\large\textsf{Distancia Desde Cima a Ge\'ologo = c}[/tex]
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la distancia
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = ( 111.4\ m )^{2} \ + \ ( 95\ m )^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 12409.96\ m^{2} \ + \ 9025 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 21434.96 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{21434.96 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c = \sqrt{21434.96 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 146.40\ metros }}[/tex]
La distancia desde lo alto de la montaña hasta los pies del geólogo es de aproximadamente 146.4 metros
b) Determinamos el valor del ángulo α de elevación
Empleamos las razones trigonométricas habituales
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura de la montaña- y conocemos la distancia desde los pies del geólogo hasta el pie o base de la montaña -la cual es el cateto adyacente del triángulo rectángulo y debemos determinar el ángulo de elevación hallaremos la incógnita mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Planteamos
[tex]\boxed { \bold { tan(\alpha ^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{a}{b} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan(\alpha ^o) = \frac{altura \ hasta \ la\ cima }{distancia \ geologo \ hasta \ el \ pie } = \frac{a}{b} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan(\alpha ^o)= \frac{a}{b} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan(\alpha ^o )= \frac{111.4 \not m }{95 \not m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan(\alpha ^o )= 1.172631579 }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente }[/tex]
[tex]\boxed { \bold {\alpha = arc tan ( 1.172631579 ) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {\alpha = 49.54302 ^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {\alpha = 49.54^o }}[/tex]
El valor del ángulo de elevación es de aproximadamente 49.54°
