Respuesta:
[tex]\sqrt{x} e^{2\sqrt{x} } -\frac{e^{2\sqrt{x} } }{2} +c[/tex]
Explicación paso a paso:
primero simplificas la radical de ∫[tex]ex^{2\sqrt{x} } dx[/tex] a ∫[tex]e^{2\sqrt{x} } dx[/tex] luego transformamos la expresión usando [tex]\sqrt[n]{a^{m} } =a^{\frac{m}{n} }[/tex] y nos queda ∫[tex]e^{2x^{\frac{1}{2} } } dx[/tex] utilizamos la sustitución [tex]t=2x^{\frac{1}{2} }[/tex] y nos queda ∫[tex]\frac{te^{t} }{2} dt[/tex] y utilizando las propiedades de la integral nos queda [tex]\frac{1}{2} *[/tex]∫[tex]te^{t} dt[/tex] evaluamos utilizando la formula de la integración parcial y tenemos [tex]\frac{1}{2} * (te^{t} -[/tex]∫[tex]e^{t} dt[/tex]) y utilizando ∫[tex]e^{x} dx=e^{x}[/tex] tenemos [tex]\frac{1}{2} *(te^{t} -e^{t} )[/tex] devolvemos a la sustitución [tex]t=2x^{\frac{1}{2} }[/tex] y tenemos [tex]\frac{1}{2}*(2x^{\frac{1}{2} } e^{2x^{\frac{1}{2} } }-e^{2x^{\frac{1}{2} } } )[/tex] simplificamos y tenemos [tex]\sqrt{x} e^{2\sqrt{x} } -\frac{e^{2\sqrt{x} } }{2}[/tex] y agregamos la cte de integración
Espero te sirva:)
