El ángulo de inclinación de la colina es de 22.46°
Se trata de un problema trigonométrico que contiene a dos triángulos, por tanto:
Representamos la situación en dos triángulos: el ADC y el BCD, en donde el primero es obtusángulo y el segundo rectángulo
En donde para el triángulo obtusángulo ADC: el lado AC representa la distancia desde la base de la colina hasta el extremo superior de la torre, el lado CD equivale a la distancia desde el pie de la colina hasta la base de la torre, donde se conoce la magnitud de ese lado y el ángulo comprendido entre esos dos lados. Y el lado AD es la altura de la torre, de la cual también sabemos su dimensión
Y el triángulo rectángulo BCD: donde el lado CD es la inclinación de la colina hasta la base de la torre y como se dijo se conoce su dimensión, donde el lado BC representa el plano horizontal donde se asienta la base de la colina y el lado BD es la altura de la misma.
Notemos que los dos triángulos juntos conforman un triángulo rectángulo ABC
Trabajamos en el triángulo obtusángulo ADC
Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Denotamos al ángulo dado por enunciado de 12° como γ
Hallamos el valor del ángulo que se encuentra en el vértice A al que denotamos como α
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{115 \ m}{ sen(\alpha ) } = \frac{29 \ m }{sen(12^o)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{115\ m \ . \ sen(12^o) }{29 \ m} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{115\ m \ . \ 0.207911690818}{29 \ m} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{23.90984444407\not m }{29 \not m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { sen(\alpha ) = 0.8244773946231 }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa del seno para determinar el valor del \'angulo}\ \bold{\alpha}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \alpha =arcsen ( 0.8244773946231) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {\alpha = 55.5355^o}}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \alpha =55.54^o}}[/tex]
Hallamos el valor del ángulo β que es el ángulo de inclinación de la colina
Si observamos la figura que se adjunta podemos notar que el ángulo α que hallamos para el triángulo obtusángulo es el mismo que para el triángulo rectángulo que comprende a los dos triángulos, es decir el triángulo rectángulo ABC
Siendo el triángulo ABC rectángulo uno de sus ángulos mide 90°, y hemos hallado un ángulo agudo que tiene un valor de 55.54°
Vamos a determinar el valor del tercer ángulo del triángulo.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°
Planteamos
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 55.54^o + \ Angulo \ C } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { Angulo \ C = 180^o - 90^o- 55.54^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { Angulo \ C = 34.46^o }}[/tex]
Donde para obtener el ángulo requerido, el de la inclinación de la colina
En el triángulo ABC que contiene y comprende a los dos triángulos:
El obtusángulo ACD que nos lleva desde el vértice C hasta el extremo superior e inferior de la torre; donde conocemos el ángulo medido que comprende a esas 2 longitudes
El triángulo rectángulo BCD que representa a la colina
Restamos del triángulo ABC los 34.46° hallados del ángulo C los 12° del triángulo oblicuángulo ADC
Resultando
[tex]\boxed {\bold {\beta = 34.46^o -12^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\beta = 22.46^o }}[/tex]
Siendo el valor del ángulo de inclinación de la colina de 22.46°
La situación se puede apreciar en el gráfico adjunto, y el ángulo de inclinación de la colina se ve en el triángulo rectángulo BCD que la representa
