a) La altura máxima alcanzada por la pelota es de 119.05 metros
b) El alcance máximo de la pelota es de 428.76 metros
c) El tiempo de vuelo de la pelota es de 9.86 segundos
Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.
a) Hallamos la altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(65 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (48^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{4225\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.7431448254)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{4225 \ . \ 0.5522642316 }{ 19.6 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{2333.316379 }{ 19.6 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} = 119.046754\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 119.05\ metros }}[/tex]
La altura máxima que alcanza la pelota es de 119.05 metros
b) Cálculo del alcance máximo
La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 65 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 48^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 4225 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (96^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 4225 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9945218953 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 4225 \ . \ 0.9945218953 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{4201.855008 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =428.760715\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} = 428.76 \ metros }}[/tex]
El alcance máximo de la pelota es de 428.76 metros
c) Hallamos el tiempo de vuelo
La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (65 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (48^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{130\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.7431448254 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{130\ \ . \ 0.7431448254 }{9.8 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{96.6088273 }{9.8 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =9.85804\ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =9.86 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo de la pelota es de 9.86 segundos
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
