Respuesta:
Para dar solución a este problema es necesario tener conocimientos de algebra y derivada.
Sea el rectangulo de dimensiones b=base y h=altura (ver imagen)
Definimos el área del rectángulo [tex](1) A=b*h[/tex] (área máxima)
Definimos el perimetro del rectángulo [tex](2) P=b+h+b+h=2b+2h[/tex]
Por hipotesis el perimetro del rectángulo es [tex](3) P=100m[/tex]
Ahora, igualo ecuación [tex](2)[/tex] y [tex](3)[/tex]
[tex]2b+2h=100m[/tex], despejo una variable en función de la otra, en este caso despejo b.
[tex]2b=100-2h[/tex]
[tex]b=\frac{100-2h}{2}[/tex] simplificando se tiene:
[tex](4) b=50-h[/tex] sustituyo (4) en (1)
[tex]A=(50-h)*h[/tex]
[tex](5) A(h)=50h-h^{2}[/tex] el área es una función que depende de la altura (h),
derivamos la función de área(5) para encontrar el máximo, como el área es constante su derivada es cero.
[tex]0=50-2h[/tex] , despejo h
[tex]-50=-2h[/tex]
[tex]\frac{-50}{-2} =h[/tex]
[tex](6)h=25m[/tex] , asi obtenemos el valor de h, reemplazo en (4) y encuentro b
[tex]b=50-(25)[/tex]
[tex](7) b=25m[/tex] ahora, reemplazo (6) y (7) en la ecuacón (1) y obtengo el área máxima solicitada.
[tex]A=25m*25m\\A=625m^{2}[/tex]
∴ el área máxima de un rectángulo es de [tex]625m^{2}[/tex]
