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Calcular la altura de una torre de un pozo petrolero si a una distancia de 20m de su base, la cima se ve bajo un angulo de elevacion de 60.

Sagot :

arkyta

La altura de la torre del pozo petrolero es de 20√3 metros o de aproximadamente 34.64 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura de la torre petrolera junto con el suelo donde esta se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre petrolera, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde cierto punto -ubicado en A, donde se encuentra el observador- hasta la base de la torre petrolera y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador hasta la cima de la torre petrolera; la cual es vista con un ángulo de elevación de 60°

Donde se pide hallar:

La altura de la torre del pozo petrolero

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde determinado punto hasta la base de la torre petrolera y de un ángulo de elevación de 60°

  • Distancia hasta la base de la torre = 20 metros
  • Ángulo de elevación = 60°
  • Debemos hallar la altura de la torre del pozo petrolero

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde cierto punto - donde se ubica el observador- hasta la base de la torre petrolera y conocemos un ángulo de elevación de 60° y debemos hallar la altura de la torre del pozo petrolero, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la altura de la torre del pozo petrolero

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =60^o}[/tex]

Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 60°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta multiplicar el valor del cateto adyacente al ángulo de 60° por √3

Los cálculos nos darán la razón

Planteamos

[tex]\boxed{\bold { tan(60^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ altura \ de\ la \ torre }{ distancia \ a \ la \ torre } } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold {altura \ de\ la \ torre = distancia \ a \ la \ torre \ . \ tan(60^o) } }[/tex]

Como tenemos un ángulo notable

[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }[/tex]

[tex]\boxed{\bold {altura \ de\ la \ torre = 20 \ metros \ . \ \sqrt{3} } }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {altura \ de\ la \ torre = 20\sqrt{3} \ metros } }[/tex]

[tex]\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {altura \ de\ la \ torre\approx 34.64 \ metros } }[/tex]

Luego la altura de la torre del pozo petrolero es de 20√3 metros o de aproximadamente 34.64 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto

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