hallar dos numeros que sumados nos den 120 y que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea un maximo
Solamenta plantea tus ecuaciones si no le entiendes te doy las ecuaciones son dos ecuaciones con dos incognitas...
sea x = un numero
sea y = el segundo numero
Nombremos a los dos numeros "x" e "y". la suma es 120
x +y = 120
Pero expresemos "y" en términos de "x"
y = 120 -x
El producto del primer número por el cuadrado del segundo será una función que llamaremos f(x):
f(x) = x(120 -x)² = x(120² -2·120·x +x²) = x(14400 -240x +x²) = 14400x -240x² +x³
Para hallar el valor de "x" donde la función sea máxima, seguimos estos pasos
1º Sacar la primera derivada de la función. Para derivar recuerda:
* Linealidad de la suma (f(x) +g(x))' = f ' (x) +g ' (x)
* Linealidad de la función multiplicada por un factor constante "a": (af(x)) ' = a·f'(x). De aca se desprende que la derivada de un número es 0
* La derivada de xª es axª⁻¹, siendo "a" un factor constante
df(x)
____ = 14400 -2·240x +3x² = 14400 -480x +3x²
dx
2º Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación resultante para hayar los valores críticos, que son los valores de "x" candidatos a ser máximos y mínimos
3x² -480x +14400 = 0
3(x² -160x +4800) = 0
x² -160x +4800 = 0/3
x² -160x +4800 = 0
Recuerda la factorización de este tipo: x² +(a+b)x +a·b = (x +a)(x +b)
(x -120)(x -40) = 0
Las soluciones de "x" son:
x -120 = 0
x = 120
ó
x -40 = 0
x = 40
3º Calculamos la segunda derivada de la función
d² f(x)
_____ = -480 +3·2x = -480 +6x = -6(80 -x)
dx²
4º Evaluamos la segunda derivada en los valores críticos. Si el resultado es negativo el valor crítico corresponde a un máximo de f(x), si el resultadoes positivo el valor crítico es un mínimo de f(x)
* Para x = 120:
d² f(x)
_____ = -6(80 -120) = -6·-40 = 240 > 0 :-> mínimo
dx²
* Para x = 40
d² f(x)
_____ = -6(80 -40) = -6·40 = -240 < 0 :-> máximo
dx²
Entonces el máximo se haya en x = 40, por lo tanto los número que buscabamos son x = 40 y 120 -x = 80
