3.1.2 La división del espacio. Vamos a presentar un nuevo problema
introductorio: ¿en cuántas partes queda dividido el espacio por cinco
planos? El problema es fácil de resolver si los cinco planos son paralelos:
el espacio queda dividido en seis partes. Pero no es nada fácil si
suponemos que ninguno de los planos es paralelo a otro. Usando la
intuición geométrica es sencillo ver que, con un plano, el espacio se divide
en dos pedazos; con dos planos no paralelos, se divide en cuatro y con tres
planos, se divide en ocho. El problema con cuatro planos es ya más difícil.
Pero podemos hacer un esfuerzo: cuatro planos no paralelos forman un
tetraedro:
Figura 3.8
Un primer trozo del espacio es el que queda atrapado dentro del tetraedro.
Cada arista colinda con un trozo nuevo: son seis aristas por lo tanto
llevamos 7 pedazos. Cada vértice determina un trozo nuevo : son 4 más.
Finalmente, cada cara del tetraedro limita con otro pedazo del espacio que122
queda hacia afuera : luego serían 15 trozos del espacio. Hacer un conteo
como este para cinco planos resulta prácticamente imposible. ¿Qué hacer?
Cuando un problema matemático se pone difícil, se puede tratar de
resolver uno , pero más fácil. Por ejemplo, dividir el por análogo plano
medio de rectas no paralelas. Una recta divide al plano en dos; dos rectas
lo divide en cuatro y tres rectas no paralelas lo hacen en 7 . Para cuatro
rectas la cosa se complica un poco:
Figura 3.9
Como se puede observar, tampoco el problema para el plano es tan fácil.
Por lo tanto, bajemos un peldaño más: . dividir la recta por cinco puntos
Ahora si que el problema se facilita. Es más: podemos el generalizar
problema y plantearnos dividir la recta por puntos: 8
Figura 3.10
Se vé claramente que la recta quedará dividida en trazos. Podemos 8 "
hacer una tabla con los resultados que hemos obtenido hasta ahora:123
número de divisiones
n línea por puntos plano por líneas espacio por planos
1 2 2 2
2 3 4 4
3 4 7 8
4 5 11 15
5 6 ? ?
6 7
.......
n n+1 ? ?
Aquí se observa una regla extraña: sumando en la primera fila los números
de la segunda y la tercera columna se obtiene el número correspondiente
de la segunda línea, tercera columna. Lo mismo ocurre sumando el
segundo con el tercer número: se obtiene el número de la segunda fila. Si
tomamos la segunda fila, observamos el mismo fenómeno: , con $ % œ (
los dos primeros números; con el par de números siguientes. % % œ )
¿será esto una casualidad? En la tercera fila se observa exactamente lo
mismo : para los dos primeros y con los dos % ( œ "" ( ) œ "&
siguientes.
Esto no puede ser casual: debe haber alguna razón especial para que esto
ocurra. En efecto: debemos preguntarnos cuando tenemos líneas que 8
dividen el plano ¿ ? La qué sucede cuando se agrega una línea nueva
nueva línea, que no debe ser paralela a ninguna de las anteriores, debe por
lo tanto cortarlas a todas. Por lo tanto la nueva línea queda dividida con 8
puntos y estos puntos dividen a la línea en pedazos: cada pedazo 8 8 "
nuevo de la línea divide al trozo de plano en que se encuentra en dos,
creándose por lo tanto pedazos de plano nuevos. Llamemos al 8 " B8
número de trozos en que líneas dividen al plano. Hemos encontrado una 8
fórmula recursiva:
B œ B 8 " Ð#Ñ 8" 8
La fórmula recursiva (2) permite obtener una fórmula explícita para el
número en que queda dividido el plano por líneas: B 8 8124
B œ # "
B œ B # # "
B œ B $ $ #
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
B œ B 8 8 8"
Si sumamos toda esta columna de igualdades, observamos que los
términos se van cancelando desde hasta y se B 5 œ " 5 œ 8 " 5
obtiene:
B œ # # $ % ÞÞÞÞ 8 œ " Ð" # $ ÞÞÞ8Ñ 8
Pero sabemos que la suma de los primeros números naturales es 8
8Ð8"Ñ
#
por lo que hemos obtenido:
(3) B œ " 8
8Ð8"Ñ
#
Ahora podemos pasar al espacio: la argumentación es completamente
análoga a la anterior. La pregunta es ahora ¿ qué ocurre al agregar un
plano nuevo a los n planos anteriores? Cuando se agrega un nuevo plano,
como no debe ser paralelo a ninguno de los antiguos, se intersecta con los
8 8 planos anteriores y por lo tanto debe quedar cortado por rectas, las
cuales generan, como lo hemos indicado, pedazos en el plano nuevo. B8
Cada uno de estos pedazos genera un nuevo trozo en el espacio. Si
llamamos al número de trozos en que planos dividen al espacio, C 8 8
podemos poner:
(4) C œ C B 8" 8 8
Para obtener una fórmula explícita, podemos emplear el mismo truco que
antes:
C œ # "
C œ C B # " "
C œ C B $ # #
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
C œ C B 8 8" 8"
Sumando como antes, obtenemos:
C œ # B B ÞÞÞB œ # Ð" Ñ 8 " # 8"
5œ"
8"
5Ð5"Ñ
#
125
C œ # Ð8 "Ñ Ð5 5 Ñ œ 8
"
#
5œ"
8"
#
œ # Ð8 "Ñ 5
" "
# # #
8Ð8"Ñ
5œ"
8"
#
Para poder continuar necesitamos calcular la suma de los cuadrados. Esto
lo podemos hacer con un método similar al que hemos empleado hasta
ahora:
Ð" "Ñ œ " $ $ "
$
Ð" #Ñ œ " $ # $ # #
$ # $
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
Ð" 8Ñ œ " $8 $8 8
$ # $
Nuevamente al sumar las columnas se cancelan (casi) todos los términos
al cubo y queda:
Ð" 8Ñ œ 8 $ 5 $ 5 "
$ #
5œ" 5œ"
8 8
, de donde, despejando la suma de
los cuadrados, se obtiene, despues de un arreglo algebraico:
(5)
5œ"
8
# 8Ð8"ÑÐ#8"Ñ
'
5 œ
Finalmente, introduciendo (5) en la última expresión obtenida para se C8
tiene:
(6) C œ " 8 8
8Ð8"Ñ 8Ð8"ÑÐ#8"Ñ
% "#
La fórmula (6) sobrepasa con creces el problema que nos habíamos
propuesto. La división del espacio con 5 planos no paralelos dá 26 trozos
de espacio. Pero con la relación (6) podemos continuar indefinidamente.
Capítulo 3
LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
