TRANSFORMACIONES LINEALES DE ROTACION
Las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios
vectoriales en los que se ha de nido una operación de producto interior. La
matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir,
es ortogonal y su determinante es 1.
Sea un vector A en el plano cartesiano De nido por sus componentes x e y,
descrito vectorialmente a través de sus componentes:
A = (Ax/Ay)
La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje
de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado
Por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) .
En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse
De la manera siguiente:
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el
Vector, obtendremos un nuevo vector A0 que ha sido rotado en un ángulo _ en
Sentido anti horario: RA = A0, es decir
Donde A0x = Ax cos _−Ay sin _ y A0y = Ax sin _+Ay cos _ son las componentes
del nuevo vector después de ser rotado.
Teorema de rotación de
El teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de
rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una
única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto
de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especi_cada a través
del eje de rotación equivalente de_nido vectorialmente por tres parámetros y un
cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan
a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.
Ejemplo. (Rotación por un ángulo[pic]
[pic]
)
[pic]
Sea [pic]
[pic]
un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de [pic]
[pic]
en [pic]
[pic]
que gira cada vector [pic]
[pic]
un ángulo [pic]
[pic]
, para obtener un vector [pic]
[pic]
