si.claro que si:
Para qué factorizar si ya tenemos el producto
Muchas veces, en matemáticas, se tiene que factorizar para facilitar la resolución de problemas, por ejemplo, si tenemos el producto a2+2ab+b2 y lo queremos dividir entrea+b sería un poco complicado; sin embargo, si encontramos los factores de a2+2ab+b2sería fácil hallar el resultado.
Para que practiques, resuelve (a2+2ab+b2) ÷ (a+b) sabiendo que los factores de:
a2+2ab+b2 son (a+b)(a+b).
Factor común
Cuando se habla de factor común, se refiere al factor que está presente en losfactores de dos o más productos, ejemplo:
Los factores de
8 son
1, 2 y
4 porque
1·2·4=8.
Los factores de
12 son
1, 22 y
3 porque
1·22·3=12.
Luego, los factores obtenidos de
8 y
12 son
1, 2, 3 y
4, de estos factores hay algunos que son
factores comunes, porque,
están presente en 8 y
12.
De los factores 1, 2, 3 y 4, analicemos cuáles son los factores comunes a 8 y 12:
El
factor 1 es factor común, porque siempre está presente en una cantidad.
El
factor 2 es factor común de 8 y 12, porque está presente en
8 y
12.
El
factor 3 no es factor común de 8 y 12, porque no está presente en
8.
El
factor 4 es factor común de 8 y 12, porque está presente en
8 y
12. El
factor 4 está presente en
12 porque
22=4
Corolario: El factor común de dos o más cantidades divide exactamente a cada cantidad.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factor comúnEs la expresión algebraica que divide exactamente a otras expresiones algebraicas.
Otra definición: Es el expresión algebraica que está presente en un conjunto de expresiones algebraicas.Ejemplo:Se tienen las siguientes expresiones algebraicas:
2ab, 2ac, 2ad.El factor común es la expresión algebraica
2a porque divide exactamente a cada una de las expresiones algebraicas anteriores:
2ab÷2a=b;
2ac÷2a=c;
2ad÷2a=d. También, podemos decir, el factor común
2a está presente en las tres expresiones algebraicas.Factor común de un polinomioEs el término que divide exactamente a todos los términos del polinomio.
Otra definición: Es el término que está presente en todos los términos del polinomio.Ejemplo:Sea el polinomio:
m+mx−mx2.El factor común del polinomio es
m porque divide exactamente a cada término del polinomio, o también podemos decir, está presente en todos los términos del polinomio:
m÷m=1;
mx÷m=x;
−mx2÷m=−x2.Cómo hallar el factor común de un polinomioPara hallar el factor común de un polinomio se sigue el siguiente procedimiento:
» Primero, se halla el factor común de las constantes o coeficientes.
» Segundo, se halla el factor común de las variables.
» Tercero, se unen el factor común de las constantes y variables para obtener el factor común del polinomio.
Ejemplo: sea el polinomio
4ax2+12bx4.
» Primero, el
factor común de las constantes
4 y
12 son:
1, 2 y
4; porque dividen exacramente a
4 y
12.» Segundo, el factor común de las variables del polinomio es
x y
x2 porque, tanto
x como
x2, dividen exactamente a las variables
ax2 y
bx4.
» Tercero, se unen el factor común de las constantes y variables para obtener el factor común del polinomio, en consecuencia, el polinomio
4ax2+12bx4 tiene los siguientes factores comunes:
x, x2, 2x, 2x2, 4x y
4x2.
Máximo factor común (MFC) de un polinomioEl máximo factor común es el factor común cuya constante tiene el mayor valor y cuya variable tiene el mayor exponente.
Ejemplo:
Sea el polinomio
4ax2+12bx4; sabemos que sus factores comunes son :
x, x2, 2x, 2x2, 4x y
4x2. El mayor valor de las constantes es
4 y el mayor exponente de la variable es
x2; por lo tanto, el
máximo factor común del polinomio
4ax2+12bx4 es
4x2.
Truco para hallar el máximo factor común (MFC) de un polinomioHay que seguir el siguiente procedimiento:
» Primero, se toma la menor constante o coeficiente del polinomio y se verifica si divide exactamente a los otros coeficientes.
Si las divisiones son exactas, entonces, es el
MFC de los coeficientes.
Si existe una división inexacta, se continúa analizando. Se obtienen los factores del coeficiente menor y se comienza a verificar, a partir del factor mayor, si divide exactamente a los otros coeficientes. Cuando encuentres el factor que divide exactamente a los otros coeficientes, habrás obtenido el
MFC de los coeficientes.
» Segundo, al
MFC de los coeficientes se le agrega las
variables comunes del polinomio con su menor exponente; y así, habrás obtenido el
máximo factor común del polinomio.
Ejemplo:
Hallar el máximo factor común de
9x2+6x4+12x5Solución: Del polinomio tomamos el coeficiente
6 por ser el menor. Verificamos que
6 no divide exactamente a
9.
Seguimos analizando, hallamos los factores de
6; y obtenemos los siguientes:
1, 2 y
3. Verificamos si el máximo factor hallado divide exactamente a los otros coeficientes. Se verifica que
3 divide exactamente a
9 y
12; por lo tanto, el máximo factor común de los coeficientes es
3.
Al
MFC de los coeficientes se le agrega las variables comunes con su menor exponente. La variable común con su menor exponente es
x2; por lo tanto,
3x2es el
MFC de
9x2+6x4+12x5.
Factorización de PolinomiosLa factorización de un polinomio es el proceso matemático que consiste en hallar dos o más expresiones algebraicas (monomios o polinomio llamados factores) cuyo producto es el polinomio factorizado.
Ejemplo: La factorización del polinomio
a2−2ab+b2 es
(a−b)(a−b).
Polinomio reducible o compuestoEs un polinomio que se puede factorizar en dos o más expresiones algebraicas (monomios o polinomios, primos).
Ejemplo: si el polinomio
m2−4 = (m+2)(m−2) podemos decir que los polinomios primos
(m+2) y
(m−2) son los factores de
m2−4; por lo tanto,
m2−4 es un polinomio reducible o polinomio compuesto.
Polinomio primo o irreducibleEs un polinomio divisible por si mismo y por alguna constante.
Ejemplo: sea el polinomio
m+2, es un polinomio primo porque se divide por si mismo
m+2 ÷ m+2 = 1 y por la constante
1:
m+2 ÷ 1 = m+2.
