Acá vamos:
Ejercicio 1: Si no me equivoco quisiste expresarte así?
[tex]\sqrt{x+3}-\sqrt{1-x}[/tex]
Si es asì entonces la respuesta es asì:
[tex]Dom =\sqrt{x+3}-\sqrt{1-x} [/tex]
El dominio de esta función es el dominio de la uniòn de cada una de las funciones, a qué me refiero... a que Dominio total es [tex]Dom \sqrt{x+3} + Dom\sqrt{1-x}[/tex], bien primero comencemos con el dominio de [tex]\sqrt{x+3}[/tex] Hay una regla que nos dice que el dominio de una raìz son todos los nùmeros positivos y todos aquellos nùmeros que la funciòn sea diferente de un nùmero negativo por lo tanto hacemos funciones y despejes simples:
[tex]Dom=\sqrt{x+3} \\ Inecuacion: \\ Dom= x+3>0\\ Despejando: \\ Dom= x>-3 [/tex]
Por lo tanto el dominio de la funciòn 1 es todos los nùmeros reales desde 0 hasta el infinito, no tiene caso exceptuar el -3 (que es la excepciòn) puesto que ya està implìcita en el conjunto (0,+∞)
Ahora con la otra funciòn:
[tex]Dom=\sqrt{1-x}\\ Inecuacion:\\ Dom=1-x>0\\ Despejando\\ -x>0-1\\ -x>-1\\ Simplifico\ con\ signos\\ x>1 [/tex]
Por lo tanto su dominio es (1,+∞) o sea desde 1 (sin tocarlo) hasta el infinito exceptuando el 1 claro...
Entonces su dominio total de la función es:
Dom=[tex](1,+\infty)\cap(0,+\infty) = (1,+\infty)[/tex]
///////////////////EJERCICIO 2///////////////////////
Se tiene f(x)= 3/x^4 ;Hallar f ' (x)
Sencillisimo :)
[tex] f(x)= 3/x^4 \\Si\ subimos\ el\ x^4\ al\ numerador\ nos\ queda:\\ 3x^ {-4}[/tex]
Así es más fácil derivar porque sólo usas la regla de[tex]u^v=vu^{v-1}[/tex]
[tex]3x^{-4}=3(-4)(x)^{-4-1}\\ -12x^{-5}[/tex]
ya sólo pasamos el exponente -5 hacia el denominador porque no debe haber exponentes negativos:
[tex]-12x^{-5}=-\frac{12}{x^5}[/tex]
Listo :)
//////////////////EJERCICIO 4//////////////////////////
Si g(x)=30x^8-4x^3+3x ; entonces g ' (x) es:
[tex]30x^8-4x^3+3x=\\ 30(8)x^{8-1}-4(3)x^{3-1}+3(1)\\ 240x^7-12x^2+3[/tex]
