Antes que nada convierto esa expresión en la forma normal de ecuación de 2º grado.
5x(x+2)=k ---------> 5x² +10x = k ---------> 5x² +10x —k = 0
Por otro lado, al aplicar la fórmula general de resolución de estas ecuaciones:
________
—b ± √ b²—4ac
x = ▬▬▬▬▬▬▬
2a
... hay que darse cuenta que para que se cumpla la condición de carecer de raíces reales, el radicando de esa raíz debe ser negativo.
Por tanto analicemos los coeficientes:
a = 5
b = 10
c = —k
Debe cumplirse que:
10²—(4·5·—k) < 0
Si lo igualo a cero (las inecuaciones no son mi fuerte) tendré esto:
10²—(4·5·—k) = 0 ------> 100 —(20·—k) = 0 ------> 100 —(—20k) = 0 ----->
------> 100 +20k = 0 -------> 20k = —100 ------> k = —100/20 = —5
Es decir que si k=–5, tenemos raíces reales porque el radicando sería cero.
Por tanto se deduce que esa variable debe tener un VALOR ABSOLUTO (que quiere decir que no se tiene en cuenta el signo) MAYOR QUE 5 para que el resultado del radicando sea negativo.
De tal modo que si hacemos por ejemplo k = —6 e introducimos ese valor en el radicando nos sale esto:
10²—(4·5·—(—6)) = 100 — (120) = —20 ---> radicando negativo.
Y teniendo en cuenta el signo, hemos de convenir en que —6 es menor que —5, por tanto la opción válida es la a) ----> k < —5
Saludos.
