El componente vertical de su velocidad inicial es vo sen θ. Como es bien sabido, verticalmente, la velocidad en el punto más alto de la trayectoria de un proyectil es nula. Considerando por el momento el movimiento vertical únicamente, puede escribirse, partiendo de que v − vo = a t, donde v = 0:
0 − vo sen θ = −g t
t = (vo/g) sen θ
Por otra parte, de s = vo t + ½ a t², considerando que en este caso a = −g, vo realmente es vo sen θ, y es espacio recorrido es una altura,
h = vo t sen θ − ½ g t²
Frecuentemente, a la altura máxima alcanzada se le aplica el nombre específico de "altitud", denotado con A. Teniendo esto en cuenta, y como t = (vo/g) sen θ, substituyendo tenemos que
A = (vo²/g) sen² θ − ½ g [(vo/g) sen θ]²
A = (vo²/g) sen² θ − ½ g (vo²/g²) sen² θ
A = (vo²/2g) sen² θ.
Esta es la fórmula buscada. Haciendo uso de la igualdad trigonométrica 2 sen² θ = 1 − cos 2 θ, también puede escribirse
A = (vo²/4g) (1 − cos 2 θ),
expresión que es algo más fácil de emplear.
Para los datos del problema,
A = (18² / 4 · 9.8) (1 − cos 30°) = 1.107 m.
La altitud no es mucha, debido al ángulo de tiro, que es más bien bajo.
Para deducir una fórmula para el alcance, se procede de manera parecida. El alcance, simbolizado por algunos con R, es la máxima distancia horizontal recorrida por el proyectil. Evidentemente, la altura es nula cuando el proyectil toca tierra, por lo que puede escribirse
h = vo t sen θ − ½ g t² = 0.
Simplificando,
vo sen θ = ½ g t
t = 2 (vo/g) sen θ
Es decir, el doble que el necesario para llegar a la altura máxima. Horizontalmente, la velocidad es vo cos θ, y es constante, por ser nula la aceleración en sentido horizontal. La distancia recorrida en un tiempo t = 2 (vo/g) sen θ resulta
R = vo cos θ · 2 (vo/g) sen θ = 2 (vo²/g) sen θ cos θ.
Esta expresión puede simplificarse algo mediante la identidad trigonométrica 2 sen θ cos θ = sen 2 θ. Entonces,
R = (vo² / g) sen 2 θ.
En este caso,
R = (18² / 9.8) sen 30° = 16.53 m.
Como puede apreciarse fácilmente en la fórmula, el alcance depende de la magnitud de la velocidad inicial, la aceleración de la gravedad, y el ángulo de tiro; de estas tres cantidades, g es una constante, que no se puede cambiar, al menos localmente. Sin embargo, tanto vo como θ son variables, en toda la extensión de la palabra. Es evidente que incrementando vo se incrementará el alcance. Más aún: si se duplica la velocidad inicial, se cuadruplicará el alcance, debido a que éste es proporcional al CUADRADO de la velocidad inicial.
La otra forma de aumentar el alcance, obviamente, es variando el ángulo de tiro. Por ser una proporcionalidad indirecta (la altitud no depende precisamente de θ, sino del seno trigonométrico del doble del ángulo), no resulta aparente, a primera vista, para qué valor de θ el alcance es máximo.
Sin embargo, es bastante claro que si el valor del seno de un ángulo que varía de 0 a 90° se encuentra entre 0 y 1, la altitud será máxima si sen 2 θ = 1. Es evidente que esto ocurre cuando θ = 45°, porque entonces sen 2 θ = sen 90° = 1. En tal caso, el alcance es igual a R = vo² / g.
