El dominio de una funcion es el conjunto de valores que tienen imagen segun esa funcion.
El codominio es el conjunto de valores que pueden tomar la imagen.
Y el rango es el conjunto de valores que realmente toma la imagen.
Entonces....
1) f(x) = 3x-1
Como la funcion f(x) esta definida para todos los numeros reales, entonces el dominio es (-∞,+∞)
Y como el dominio es (-∞,+∞), el codominio es el conjunto de todos los valores de salida de f(x), el codominio de f(x) es (-∞,+∞)
Y como rango es el conjunto de valores que realmente toma la imagen, al igual que el codominio, el rango de f(x) es (-∞,+∞)
2) g(x)= 2x² + 5x
Como la funcion g(x) esta definida para todos los numeros reales, entonces, el dominio de la funcion g(x) es (-∞,+∞)
Cuando queremos calcular el codominio de una funcion de manera nas analitica, se iguala la funcion a y, y luego se despeja x, en nuestro caso.
2x² + 5x = y
Despejando
2x² + 5x -y = 0
x = (-5 ±√(5² - 4(2)(-y))/(2(2)
x = (-5 ±√(25 +8y)/4
Ahora, como una raiz cuadrada siempre debe tener radicando positivo,para que sea un numero real, se debe cumplir la siguiente desigualdad:
25 +8y ≥ 0
Resolviendo la inecuacion queda
8y > -25
y ≥ -25/8
Por tanto, el codominio de g(x) es [-25/8,+∞)
Y como rango es el conjunto de valores que realmente toma la imagen, al igual que el codominio, el rango de f(x) es [-25/8,+∞)
3)h(x)= (x-1)^1/2
Como (x-1)^1/2 = √(x-1)
h(x) = √(x-1)
Ahora, como una raiz cuadrada siempre debe tener radicando positivo, para que sea un numero real, tenemos que se debe cumplir la siguiente desigualdad:
(x-1) ≥ 0
Resolviendo la inecuacion:
(x-1) ≥ 0
x ≥ 1
Por tanto, el dominio de h(x) es [1,+∞)
Ahora, para calcular el codominio, igualamos a y, y luego despejamos x, entonces
√(x-1) = y
Resolviendo...
√(x-1) = y
√(x-1)² = y²
x-1 = y²
x = y²+1
Ahora, como y² , siempre arroja valores positivos, entonces tenemos que el minimo valor posible de y²+1 es 0²+1 = 1
Por tanto, el codominio de h(x) es [1,+∞)
Y analogamente, el rango es [1,+∞)
4) i(x) = 2x/(x²-1)
Como en un cociente, el numerador siempre debe ser distinto de 0, para que sea un numero real, entonces, la funcion i(x) no esa definida para x²-1 = 0
Resolviendo
x²-1 = 0
x² = 1
x = √1
x = ±1
Es decir, que la funcion i(x) no esta definida para 1, ni -1, por tanto el dominio de i(x) es (-∞,-1) U (-1,1) U (-1,+∞)
O en otras palabras, el dominio de i(x) es el conjunto de todos los numeros reales, excepto el 1 y -1
Ahora, para calcular el codominio, igualamos a y, y luego despejamos x, entonces:
2x/(x²-1) = y
Resolviendo...
2x/(x²-1) = y
2x = y(x²-1)
x = (2 ±√(4y²+4))/(2y)
Entonces, debe cumplirse la siguiente desigualdad
4y²+4 > 0
Y como y² siempre arroja valores positivos, entonces, la desigualdad anterior se cumple para todos los valores de y.
Por tanto el codominio de i(x) es (-∞,+∞)
Y analogamente el rango es (-∞,+∞)
5) j(x)= (3x-2)^1/3
Como (3x-2)^1/3 = ³√(3x-2), entonces
j(x) = ³√(3x-2)
Y como j(x) esta definida para todos los numeros reales, entonces el dominio de j(x) es (-∞,+∞)
Ahora, igualando a y, tenemos
³√(3x-2) = y
Resolviendo
³√(3x-2) = y
³√(3x-2)³ = y³
3x-2 = y³
3x = y³+2
x = (y³+2)/3
Y como (y³+2)/3 esta definida para todos los numeros reales, entonces el codominio de j(x) es (-∞,+∞)
Y analogamente el rango es (-∞,+∞)
Espero haberte ayudado!!!
