Estos exámenes deben realizarse en un máximo de dos horas. No es necesario emplear calculadora. Puede consultar fórmulas, tablas y ecuaciones necesarias en alguno de los ejercicios.
Agradecemos la valiosa ayuda del Señor Roberto Vega, estudiante de Ingeniería Biomédica, en la carga del material.
Ejemplo 1
1- En el polinomio P(x) = x3 + 4x2 + K x + 2 ; ¿cuánto vale “K” si se sabe que “-2” es uno de sus ceros ?, ¿cómo se factorea el polinomio?
Respuesta:
P(x) = x3 + 4 x2 + kx +2
-2 cero del polinomio Þ P(-2) = 0 Þ –8 + 4.4 + k(-2) + 2 = 0 Þ -2k + 10 = 0 Þ k = 5
-2 cero del polinomio Þ P(x) divisible por x + 2 Þ podemos aplicar Ruffini para calcular el cociente.
1 4 5 2
-2 -2 -4 -2
1 2 1 0
Luego P(x) = (x+2) (x2 + 2x + 1) = (x+2) (x+1)2
2- Si sabemos que, ¿cuál es el valor de “b”?.
Respuesta:
Þ b1/6 : (b1/2 b2/3) = 2 Þ b1/6-1/2-1/3 = b-1 = 2 Þ 1/b = 2 b = 1/2
3- Calcule x con los datos de la figura:
Respuesta:
Se puede aplicar Pitágoras porque se trata de triángulos rectángulos.
a2 + a2 = 18 Þ 2 a2 = 18 Þ a2 = 9 Þ a = 3 (porque es longitud, sino debería dar dos soluciones 3 y –3)
Þ 18 + a2 = x2 Þ 18 + 9 = x2 Þ x =
4- Con los datos de la figura calcule x:
Respuesta:
Sea D el pie de la altura correspondiente al lado AC.
Como C = 45º, resulta DC = x + 4 y AC = 4x - 1 – (x + 4) = 3x – 5
Þ 3tg25º x – 5 tg 25º = x + 4 Þ (3tg25º -1) x = 4 + 5 tg 25º Þ
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Ejemplo 2 (para resolver vea el Ejemplo 1)
1- Determine el valor de K para el polinomio P(x)= 4x3 + K x + 1
admita a “-1” como uno de sus ceros, ¿cómo se factorea el polinomio?.
2- Determine el valor de “a” si se sabe que:
3- Con los datos de la figura calcule x:
4- Con los datos de la figura calcule x:
5- Resuelva la ecuación :
log 4 - log (1+ 3x ) = log x
Respuesta:
log 4 – log (1 + 3x) = log x Þ Þ Þ 4 = x + 3 x2 Þ
3 x2 + x – 4 = 0 Þ Þ x1 = -8/6 = -4/3, x2 = 1
Como no se puede aplicar logaritmos a números negativos y en la ecuación inicial está la expresión log x, debemos descartar la solución x1 = -4/3.
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Ejemplo 3
1-
a- Exprese en el sistema sexagesimal ( grados, minutos y segundos) los siguientes ángulos,
indicando el procedimiento paso a paso.
b1 = p/9 rad. b2 = ½ rad.
b- Exprese en radianes, como un cierto múltiplo de p los siguientes ángulos,
indicando el procedimiento paso a paso:
b1 = -120º b2 = 30º 45’
Respuesta:
a) p ¾¾ 180º
p/9 ¾¾ p/9 . 180º /p = 20º
b) 180º ¾¾ p
-120º ¾¾ -120º . p / 180º = -2/3 p
2- verifique la siguiente identidad paso a paso.
Respuesta:
3- Sobre una loma situada en la rivera de un río existe una torre de 120 m de altura. Desde un punto situado en la orilla opuesta se ve el borde superior de la torre con un ángulo de elevación de 45º y la base de la torre con un ángulo de 15º. Calcule el ancho del río
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Ejemplo 4
1- a- Exprese en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso.
b1 = p/ 4 rad. b2 = 6/5 rad.
b- Exprese en radianes los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso:
b1 = 45º b2 = 30º 45’
2- Verifique la siguiente identidad paso a paso.
3- Dado el gráfico siguiente, en donde= 50 [N]. Calcular las componentes de en una dirección paralela al plano inclinado y otra perpendicular al mismo.
4- Desde un punto del suelo que está a 10 m de distancia de la base de un edificio, el ángulo de elevación del extremo inferior es de 30º. Calcule la altura del ventanal.
5-son dos vectores que forman un ángulo de p/3 radianes entre ellos. Si los módulos de los vectores son: ; calcule:
a- módulo del vector resta
b- el ángulo que forman los vectores siendo y
c- el módulo del vector con = -
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Ejemplo 5
1-a- Exprese en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso:
b1 = 7p/6 rad. b2 = 1,5 rad.
b- Exprese en radianes, como un cierto múltiplo de p los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso:
b1 = -240º b2 = 20º 30’
2- En el gráfico siguiente un cuerpo de peso P cuelga de un cable. Si= 10 [N]. Calcular las componentes deen una dirección paralela al cable y otra perpendicular al mismo.
3- Sobre una loma situada en la ribera de un río existe una torre de 150 m de altura. Desde un punto situado en la orilla opuesta se ve el borde superior de la torre con un ángulo de elevación de 45º y la base de la torre con un ángulo de 15º. Calcule la altura de la loma.
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Ejemplo 6
1- En el grafico siguiente un cuerpo de peso P cuelga de un cable. Si P = 200 [N].
disculpa por tardarme
