Respuesta:
Calcular los segmentos determinados por la bisectriz sobre el lado mayor de los triángulos cuyos
lados a, b y c miden:
(41) a = 24, b = 32, c = 40 (43) a = 8, b = 10, c = 6 (45) a = 7, b = 3, c = 5
En este ejercicio se emplea la solución al problema planteado en el Art. 133 (pág. 97), el
cual se fundamenta en el Teorema 33 (misma página) en el que la bisectriz de un ángulo
interior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos, x e y, proporcionales a los
otros dos lados. En este caso, el lado opuesto corresponderá al lado de mayor longitud.
6 3 6 8 14 7 (43) y pero 10 84 6 6 3
10 7 3 10 30 2 6 8 14 7 entonces 4 , análogamente 3 7 7 7 8 84
10 7 4 10 40 5 2 de donde 5 ; comprobación: 4 4 7 77 7
x c xy ca bac xyb
ya x c
xy ca x
x ya
y xy
y
+++
>> ∴ = = = = = = = +==
× +++
= ∴= == = = ==
×
= ∴ = = = +=
5 5 10
7
+ == b
3 35 8 (45) y pero 7 5 33
7 8 3 7 21 5 3 5 8 entonces 2 , análogamente 3 8 8 8 55
7 8 5 7 35 3 5 3 de donde 4 ; comprobación: 2 4 7 5 8 8 8 88
x b x y bc acb xya yc x b
xy bc x
x yb
y xy a
Explicación paso a paso:
Hallar las razones directas e inversas de los segmentos a y b, sabiendo que:
(1) a = 18 m, b = 24 m (3) a = 25 cm, b = 5 cm (5) a = 2.5 dm, b = 50 cm
(7) a = 5 Hm, b = 3 Dm (9) a = 6 mm, b = 3 cm
Geometría Plana y Trigonometría (Baldor) Dr. G. Urcid
Septiembre – Diciembre 2008 INAOE 9/1
Segmentos proporcionales
Capítulo 9. Ejercicios Resueltos (pp. 100 – 103)
Hallar los dos segmentos sabiendo su suma (S) y su razón (r).
(11) S = 6, r = 1/2 (13) S = 12, r = 1/2 (15) S = 40, r = 3/5
1
1
1
18 m 3(6) 3 4 (1) 0.75 y 24 m 4(6) 4 3
25 cm 25 5 1 (3) 5 y 0.2 5 cm 5 25 5
2.5 dm 25 cm 1 2 (5) 0.5 y 2 50 cm 50 cm 2 1
5 Hm 50 (7) 3 Dm
a b
r r
b a
a b
r r
b a
a b
r r
b a
a
r
b
−
−
−
== = == ==
== = = == ==
== = == ===
== = 1
1
0 m 50 2 3 16 y 30 m 3 3 50
6 mm 6 mm 1 5 (9) 0.2 y 5 3 cm 30 mm 5 1
b
r
a
a b
r r
b a
−
−
= = ==
== = == ===
La razón directa es el cociente r = a/b mientras que la razón inversa o recíproca es el
cociente b/a = (a/b)
-1 = r -1. De este modo se obtienen los siguientes valores numéricos:
Algebraicamente, S = a + b mientras que r = a/b ; consecuentemente, b = a/r de modo que
S = a + a/r = a ( 1 + 1/r ) . Entonces, a = S / ( 1 + r -1 ) por lo que se obtienen estos valores:
1
1
1
66 2 (11) 2 y 4 1 12 3 1
2
12 12 4 (13) 4 y 8 1 12 3 1
2
40 40 120 15 (15) 15 y 25 1 8 5 8 3 1
3 3 5
S a a b
r r
S a a b
r r
S a a b
r r
−
−
−
= = == == = + +
= = = = == = + +
= = = = = == = + +
Alternativamente, como S = a + b mientras que r = a/b ; entonces, si a = br, S = br + b =
b ( 1 + r ) de donde b = S / ( 1 + r ) y claramente se obtienen los mismos valores.
