Vamos a fijarnos en las dos figuras que comparten un lado y que son el triángulo superior y el pentágono inferior.
Démonos cuenta que las flechas que van girando por los vértices parten del centro del triángulo la más corta y del pentágono la más larga de tal modo que la secuencia de la flecha corta del triángulo al girar es:
Vértice 1 - Vértice 3 - Vértice 2 y solo gira por los vértices del triángulo.
Del mismo modo, la flecha más larga que parte del centro del pentágono gira con esta secuencia:
Vértice 1 - Vértice 3 - Vértice 5 - Vértice 2 - Vértice 4 y solo gira por los vértices del pentágono
Finalmente hemos de fijarnos en que los únicos vértices en que pueden coincidir las dos flechas son el 1 y el 2 que son los comunes a los dos polígonos, ok?
A partir de aquí ya hay que dibujarse un cuadrante como he hecho yo y te he adjuntado donde aparecen tres filas, fíjate en el dibujo:
1ª fila - corresponde al nº de orden de las coincidencias de las flechas, así vemos que:
- la 1ª coincidencia aparece justo en la figura nº 1
- la 2ª coincidencia aparece en la figura nº 9
- la 3ª coincidencia aparece en la figura nº 16
- la 4ª coincidencia aparece en la figura nº 24
- la 5ª coincidencia aparece en la figura nº 39
- la 6ª coincidencia aparece en la figura nº 46 ... etc...
2ª fila - corresponde al nº de orden de la figura
3ª y 4ª filas - corresponden a la rotación de las flechas en cada uno de los polígonos.
Y ya con todo eso claro, se trata de montar una progresión aritmética basándonos en que entre el los nºs de coincidencia IMPAR (señalados en el dibujo en rojo) siempre existe una diferencia de 15
Como nos pide el nº de orden de la figura donde coincidan las flechas por trigésima vez (30 veces), montaremos la progresión aritmética hasta la vez nº 29 que es el último impar anterior a 30 y obtendremos su valor que corresponderá a la coincidencia nº 29.
Pero el número de términos de esa progresión serán 15 y no 29 puesto que estamos contando solo las coincidencias con nº impar:
Así pues tenemos estos datos de la progresión:
- Primer término ... a₁ = 1
- Diferencia entre términos consecutivos ... d = 15
- Nº de términos ... n = 15
- 14º término ... a₁₅ = ? (es lo que vamos a calcular)
Acudo a la fórmula general:
aₙ = a₁ + (n-1) × d
Sustituyo datos:
a₁₅ = 1 + (15-1) × 15
a₁₅ = 1 + 210
a₁₅ = 211
Con esto hemos calculado el nº de figura en que coincidirán las flechas por 29ª vez.
Ahora solo queda contar las figuras que hay entre ese término y el siguiente (que es el nº 30 que buscamos) y para ello solo hay que fijarse en que entre coincidencias en lugar impar y coincidencias en lugar par hay una diferencia de 8 figuras y son las que vamos a sumar al valor del término calculado:
a₃₀ = 211 + 8 = 219
Con esto resolvemos el ejercicio.
El número de figura en la cual las flechas habrán apuntado a un mismo vértice por trigésima vez es el 219
PD: Un ejercicio realmente retorcido. Todo un reto.
